Теплоёмкость идеального газа

Теплоёмкость определяется суммой поступательных, вращательных и удвоенным числом колебательных степеней свободы.

Теплоёмкость идеального газа — отношение количества теплоты, сообщённой газу [math]\displaystyle{ \delta Q }[/math], к изменению температуры [math]\displaystyle{ dT }[/math], которое при этом произошло [math]\displaystyle{ C = \frac{\delta Q}{dT} }[/math] .

Удельная и молярная теплоёмкость

Молярная теплоёмкость — теплоёмкость 1 моля вещества :

[math]\displaystyle{ C_M = \frac{C}{\nu} = \frac{1}{\nu} \frac{\delta Q}{\Delta T}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \nu = m/M, }[/math] [math]\displaystyle{ m }[/math] — масса, [math]\displaystyle{ M }[/math] — молярная масса вещества.

Теплоёмкость единичной массы вещества называется удельной теплоёмкостью и, в системе СИ, измеряется в Дж/(кг·К).

Формула расчёта удельной теплоёмкости:

[math]\displaystyle{ c=\frac{C_M}{M} = \frac{\delta Q}{ mdT}, }[/math]

где c — удельная теплоёмкость, m — масса нагреваемого (охлаждающегося) вещества.

Теплоёмкость идеального газа в изопроцессах

Адиабатический

В адиабатическом процессе теплообмена с окружающей средой не происходит, то есть [math]\displaystyle{ dQ=0 }[/math]. Однако, объём, давление и температура меняются, то есть [math]\displaystyle{ dT\neq 0 }[/math].

Следовательно, теплоёмкость идеального газа в адиабатическом процессе равна нулю: [math]\displaystyle{ C = {0 \over dT} = 0 }[/math].

Изотермический

В изотермическом процессе постоянна температура, то есть [math]\displaystyle{ dT=0 }[/math]. При изменении объёма газу передаётся (или отбирается) некоторое количество тепла. Следовательно, теплоёмкость идеального газа равна плюс-минус бесконечности: [math]\displaystyle{ C \to \pm \infty }[/math]

Изохорный

В изохорном процессе постоянен объём, то есть [math]\displaystyle{ \delta V=0 }[/math] и, следовательно газ не совершает работы. Первое Начало Термодинамики для изохорного процесса имеет вид:

[math]\displaystyle{ dU=\delta Q = \nu C_V dT. \qquad (1) }[/math]

А для идеального газа

[math]\displaystyle{ dU=\frac i2 \nu R \Delta T. }[/math]

Таким образом,

[math]\displaystyle{ C_V=\frac i2 R, }[/math]

где [math]\displaystyle{ i }[/math] — число степеней свободы частиц газа.

Другая формула:

[math]\displaystyle{ C_{V}=\frac{R}{\gamma - 1}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — показатель адиабаты, [math]\displaystyle{ R }[/math] — газовая постоянная газа.

Изобарный

Молярная теплоёмкость при постоянном давлении обозначается как [math]\displaystyle{ C_p }[/math]. В идеальном газе она связана с теплоёмкостью при постоянном объёме соотношением Майера [math]\displaystyle{ C_p = C_v + R }[/math]. Уравнение Майера вытекает из первого начала термодинамики:

[math]\displaystyle{ \delta Q = \mathrm{d} U + \delta A, \qquad(2) }[/math].

В рассматриваемом случае, согласно определению теплоёмкости:

[math]\displaystyle{ \delta Q = C_p \mathrm{d} T, }[/math]

Учитываем, что работа газа равна :

[math]\displaystyle{ \delta A = \mathrm{d} (pV) = nR\mathrm{d} T \qquad = p \mathrm{d} V \qquad + V \mathrm{d} p \qquad=p \mathrm{d} V \qquad, (V \mathrm{d} p \qquad=0) (3) }[/math]

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона для одного моля газа:

[math]\displaystyle{ p \mathrm{d} V = R \mathrm{d} T. \qquad (4) }[/math]

Подставляя уравнение (4) в (3) получаем:

[math]\displaystyle{ \delta A = R \mathrm{d} T \qquad (5) }[/math]

Так как энергия одной молекулы равна [math]\displaystyle{ \lt e\gt = \frac{i}{2}kT }[/math] (6), то и внутренняя энергия в целом и при изобарном процессе будет определяться по соотношению (1). Следовательно, подставляя уравнения (1) и (5) в (2) получаем соотношение Майера.

Молекулярно-кинетическая теория позволяет вычислить значения молярной теплоёмкости для классического идеального газа газов через значение универсальной газовой постоянной исходя из уравнения (6) и предположения, что молекулы газа не взаимодействуют между собой:

• для общего случая [math]\displaystyle{ C_p = \frac{i+2}{2}R, }[/math]
• для одноатомных газов [math]\displaystyle{ C_p = \frac{5}{2}R, }[/math] то есть около 20.8 Дж/(моль·К);
• для двухатомных газов и многоатомных газов с линейными молекулами [math]\displaystyle{ C_p = \frac{7}{2}R, }[/math] то есть около 29.1 Дж/(моль·К);
• для многоатомных газов с нелинейными молекулами [math]\displaystyle{ C_p = 4R, }[/math] то есть около 33.3 Дж/(моль·К).

Теплоёмкости можно также определить исходя из уравнения Майера, если известен показатель адиабаты, который можно измерить экспериментально (например, с помощью измерения скорости звука в газе или используя метод Клемана — Дезорма).

Теплоёмкость реального газа может значительно отклонятся от теплоёмкости идеального газа. Так при температуре в 25 °С и атмосферном давлении атомарный водород имеет теплоёмкость 2,50R , а атомарный кислород — 2,63R. Также теплоёмкость реального газа зависит от температуры.

См. также

• Идеальный газ
• Первое начало термодинамики
• Теплоёмкость

Литература

• Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб.—М.— Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
• Белоконь Н. И. Основные принципы термодинамики. — М.: Недра, 1968. — 110 с.
• Савельев И. В. Курс общей физики:Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.